แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาตำแหน่งด้วย GPS

จากที่ได้อธิบายในข้างต้นถึงชนิดของข้อมูลจีพีเอสที่นำมาใช้ในการคำนวณหาตำแหน่งและเทคนิคการรังวัดหาค่าพิกัดด้วยจีพีเอส ดังนั้นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้จึงขึ้นอยู่กับเทคนิคการรังวัดและชนิดของข้อมูลที่ใช้ในหัวข้อนี้จะอธิบายถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการหาตำแหน่งจุดเดี่ยวโดยอาศัยข้อมูลซูโดเรนจ์(Pseudorange-based point positioning) เท่านั้น

ข้อมูลซูโดเรนจ์เป็นที่นิยมใช้กันอย่างกว้างขวางในงานที่ไม่ต้องการค่าความถูกต้องทางตำแหน่งสูงหลักการพื้นฐานของการหาตำแหน่งจุดเดี่ยวโดยอาศัยข้อมูลซูโดเรนจ์จะเป็นการใช้หลักการเล็งสกัดย้อนโดยระยะทางโดยใช้สมมติฐานเบื้องต้นว่าตำแหน่งของดาวเทียม และค่าคลาดเคลื่อนจากนาฬิกาดาวเทียมเป็นค่าที่ทราบ (สามารถคำนวณได้จากค่าพารามิเตอร์ที่อยู่ในข้อมูลนำหนที่ส่งมาพร้อมกับคลื่นสัญญาณดาวเทียม) ส่วนค่าคลาดเคลื่อนจากการล่าช้าเนื่องมาจากเดินทางของคลื่นผ่านชั้นบรรยากาศได้ถูกปรับแก้ด้วยแบบจำลองมาตรฐานไปแล้วและไม่คำนึงถึงค่าคลาดเคลื่อนจากคลื่นหลายวิถี และค่าคลาดเคลื่อนจากสัญญาณรบกวนในเครื่องรับ ดังนั้นเราสามารถปรับสมการให้อยู่ในรูปที่ง่ายได้ดังนี้

001

ในกรณีที่ทำการรับสัญญาณโดยที่เครื่องรับมีการเคลื่อนตัวหรือที่เรียกกันโดยทั่วไปว่า แบบจลน์(Kinematic positioning) ทั้งค่าพิกัด 3 มิติ ของเครื่องรับสัญญาณดาวเทียมและค่าคลาดเคลื่อนจากนาฬิกาเครื่องรับจะมีค่าเปลี่ยนแปลงตามเวลา (ซึ่งจะมีจำนวนเท่ากับ 4 เท่าของจำนวนข้อมูลที่รับสัญญาณ) ดังนั้นจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งหมดจะมี 4 × ne ตัว โดยที่ ne คือ จำนวนข้อมูลที่รับสัญญาณ (Number of epoch) การแก้สมการเพื่อหาตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจึงจำเป็นต้องมีสมการค่าสังเกตให้เท่ากับหรือมากกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

002

โดยที่ ns คือ จำนวนดาวเทียมที่รับสัญญาณได้ และ ne คือ จำนวนข้อมูลที่รับสัญญาณ จากสมการ(4) จะเห็นได้ว่าหากรับสัญญาณเพียง 1 Epoch (ne = 1) จะต้องมีจำนวนดาวเทียมอย่างน้อย 4 ดวง (ns = 1) เพื่อที่จะสามารถคำนวณหาค่าพิกัดของเครื่องรับได้ทันทีในกรณีการทำงานแบบจลน์ถือเป็นกรณีที่นิยมใช้กันอย่างกว้างขวางเพราะผู้ใช้สามารถหาตำแหน่งได้ในทันที (Real-time or Instantaneous)

ที่มา : ตำราเทคโนโลยีอวกาศและภูมิสารสนเทศศาสตร์